Từ giả thiết suy ra tứ giác ABCD là hình thoi, do đó AC ⊥ BD

Dễ thấy mặt chéo BDD'B' của hình hộp đã cho là hình bình hành, do đó BD // B′D′. Từ đó, theo bài 3.12 suy ra AC ⊥ B'D'.

Theo giả thiết các mặt của hình hộp đều là hình thoi.

Ta có ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

Theo tính chất của hình hộp: BD // B'D', do đó AC ⊥ B'D'.

Chứng minh tương tự ta được AB' ⊥ CD', AD' ⊥ CB'

Hai mặt phẳng (AA'C'C) và (BB'D'D) vuông góc với nhau khi hình hộp ABCD.A'B'C'D'là hình lập phương.

Trước hết dễ thấy tứ giác A'B'CD là hình bình hành, ngoài ra B′C = a = CD nên nó là hình thoi. Ta chứng minh hình thoi A'B'CD là hình vuông. Ta có:

Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Chọn A

Đặt cạnh hình thoi ABCD là 1, chiều cao hình hộp = h (h>0).

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thoi

Tam giác ABD đều 

Ta có

Lại có 

Gọi  α là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt đáy (ABCD).

Ta có 

Phương pháp:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Cách giải:

∆ AOD vuông tại O

Thể tích khối hộp là: 

Chọn: A

∆ A O D  vuông tại O

⇒ O A = A D 2 - O D 2 = a 2 - 3 a 2 2 = a 2 ⇒ A H = 1 2 A O = a 4 ;

AC=2.AO=a và S A B C D = 1 2 . A C . B D

= 1 2 a . a . 3 = a 2 3 2

Do AA'//CC' nên

∠ ( A A ' ; ( A B C D ) ) = ∠ ( C C ' ; A B C D ) = 60 °

Do

A H ⊥ ( A B C D ) ⇒ ∠ ( A A ' ; ( A B C D ) ) = ∠ ( A A ' ; A H ) = ∠ A ' A H = 60 °

∆ A ' A H vuông tại

H ⇒ A ' H = A H . tan A ' A H = a 4 . tan 60 ° = a 3 4

Thể tích khối hộp là  V = S A B C D . A ' H

= a 2 3 2 . a 3 4 = 3 a 3 8

Chọn đáp án A.